Comprendre le PID à travers un exemple concret de Xiao Ming qui ajoute de l’eau

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L’importance du PID va de soi, il est largement utilisé dans le domaine du contrôle automatique. Jason illustre le fonctionnement du classique algorithme PID en enregistrant le processus par lequel Xiao Ming remplit le seau d’eau, offrant ainsi aux débutants une autre façon de comprendre le PID à travers un exemple concret. Jason souhaite expliquer les cinq concepts suivants à l’aide d’exemples concrets : 1. Décrire simplement ce qu’est un PID, pourquoi il est nécessaire et quelles sont ses fonctions ; 2. Comprendre le rôle de P (élément proportionnel) : élément proportionnel de base – Inconvénient : génération d’une erreur en régime stationnaire. Question : Qu’est-ce que l’erreur en régime stationnaire ? Pourquoi apparaît-elle ? 3. Comprendre le rôle de I (étape d’intégration) : éliminer l’erreur en régime stationnaire. Inconvénients : augmentation de l’overshoot. Question : pourquoi l’intégration permet-elle d’éliminer l’erreur en régime stationnaire ? 4. Comprendre le rôle de D (élément différentiel) : accélérer la réponse inertielle, atténuer la tendance à l’overshoot. Question : pourquoi cela permet-il d’atténuer l’overshoot ? 5. Comprendre le rôle de chaque coefficient proportionnel. http://yunrun.com.cn/upload/201908/20/201908200109200498.png Nous abordons maintenant le sujet principal. 1. Qu’est-ce que le PID et pourquoi en a-t-on besoin ? Voici le schéma général du contrôle PID, dont la description est la suivante : on définit une cible de sortie, le système de rétroaction renvoie la valeur de sortie ; si celle-ci ne correspond pas à la cible, il y a une erreur. Le PID ajuste alors la valeur d’entrée en fonction de cette erreur, jusqu’à ce que la sortie atteigne la valeur ciblée. http://yunrun.com.cn/upload/201908/20/201908200211063978.png Question : Alors pourquoi avons-nous besoin d’un PID ? Par exemple, si je contrôle la température, ne puis-je pas surveiller la valeur de température ? Dois-je arrêter dès que cette valeur est atteinte ? Il faut d’abord préciser notre objectif, car tout notre contrôle vise simplement à obtenir un résultat conforme à nos paramètres fixés. En d’autres termes, si nous définissons une valeur cible de température, quel type de variation de température souhaitons-nous alors ? Par exemple, en fixant la température cible à 30 °C, l’objectif est simplement d’obtenir le résultat montré dans la figure 1 : atteindre 30 °C rapidement et sans vibrations. http://yunrun.com.cn/upload/201908/20/201908200221422995.png Figure 1 Cible de réponse du système de contrôle PID. Ainsi, tout le monde devrait comprendre que si l’on utilise une méthode qui arrête le fonctionnement dès atteinte d’une température donnée, cela peut suffire pour des exigences modestes, mais il est certain que cela ne répondra pas aux exigences de la Figure 1, car même après avoir atteint cette température, la chaleur résiduelle continuera à faire monter la température, et la température elle-même se refroidit également par conduction à travers l’air. En résumé, la raison pour laquelle nous avons besoin d’un PID est simplement que les méthodes de contrôle classiques ne permettent pas à la sortie d’atteindre rapidement et de manière stable la valeur cible. Si vous avez encore des doutes à ce sujet, commençons par illustrer cela avec un exemple couramment utilisé. 2. Comprendre le PID à l’aide de l’exemple de Xiaoming qui remplit un seau d’eau : yunrun.com.cn/tech/2683.html Avant de commencer, nous devons présenter la formule : À première vue, cette formule semble assez intimidante. En fait, il vous suffit de connaître les définitions de base de la dérivation et de l’intégration pour comprendre. De plus, en fin de compte, tous nos efforts visent à comprendre cette formule ; sinon, aucune métaphore aussi élaborée ne pourra vous permettre de vraiment la comprendre et de l’utiliser. Ici, nous la discrétisons (si cette étape semble un peu rapide, une explication sera ajoutée plus tard) : dans l’équation, Kp est la constante de proportionnalité, Ki = (Kp × T) / Ti est la constante d’intégration, et Kd = (Kp × Td) / T est la constante différentielle. Ci-dessous, Jason montrera concrètement, à l’aide d’un exemple, comment cette équation fonctionne. ①Xiao Ming reçoit une mission : il y a un seau qui doit toujours rester à une hauteur de 1 m. Actuellement, il y a 0,2 m d’eau dans le seau. Xiao Ming utilise donc la méthode P (proportionnelle) pour ajouter de l’eau : il mesure à chaque fois l’écart par rapport à 1 m et ajoute une quantité d’eau proportionnelle à cet écart. Par exemple, supposons que Kp = 0,5. Première addition d’eau : l’erreur est de 1 – 0,2 = 0,8 m, donc la quantité d’eau à ajouter est Kp × 0,8 = 0,4 m ； Pour le deuxième ajout d’eau, l’erreur est de 1 - 0,4 = 0,6 m, donc la quantité d’eau à ajouter est Kp × 0,6 = 0,3 m ； ...... http://yunrun.com.cn/upload/201908/20/201908200252454737.png http://yunrun.com.cn/upload/201908/20/201908200252553253.png Nous trouvons que c’est parfait, ainsi l’élément de proportionnalité peut résoudre le problème à la perfection. Mais attendez, avant de tirer cette conclusion, regardons la nouvelle tâche de Xiao Ming. ② Nouvelle tâche de Xiao Ming : il y a un seau, mais le fond du seau est percé ; il faut néanmoins maintenir une hauteur de 1 m. Actuellement, il y a 0,2 m d’eau dans le seau, mais à chaque ajout d’eau, 0,1 m s’écoule. Cet exemple est proche de ceux que l’on trouve dans les projets réels, comme la résistance due à la friction des moteurs et leurs pertes. Venons plutôt résoudre le problème pour Xiao Ming. La première solution consiste toujours à utiliser P (contrôle proportionnel) U = Kp × e, en supposant toujours que Kp = 0,5. Ainsi, U = 0,5 × e, et L (niveau final) = valeur d’U entrée cette fois-ci plus le niveau de la fois précédente. Première addition d’eau : l’erreur est de 1-0,2=0,8 m, donc la quantité d’eau à ajouter est Kp×0,8=0,4 m, et le niveau final est de 0,4+0,2-0,1=0,5 m. Deuxième ajout d’eau : l’erreur est de 1-0,5=0,5 m, donc la quantité d’eau à ajouter est Kp×0,5=0,25 m, le niveau final est de 0,5+0,25-0,1=0,65 m ...... Nous avons découvert un problème : le niveau s’est stabilisé à 0,8 m, ce qui est également facile à comprendre. Lorsque l’erreur est de 0,2 m, la quantité d’eau à ajouter est de 0,1 m, soit exactement égale à celle qui s’échappe. C’est ici que l’on introduit le concept d’erreur en régime stationnaire : l’erreur en régime stationnaire est l’écart par rapport à la cible lorsque le système atteint ce régime. Alors, si nous augmentons Kp, nous constatons que l’erreur diminue ； Alors continuons à augmenter, nous constatons que le système commence à osciller. Ici, des graphiques en ligne d’Excel sont utilisés ; vous pouvez ajuster les paramètres pour observer les variations. Conclusion : le contrôle proportionnel introduit une erreur de régime stable qui ne peut être éliminée. Augmenter la constante de proportionnalité permet de réduire cette erreur de régime stable, mais si elle est trop élevée, cela provoque des oscillations du système, rendant celui-ci instable. Afin d’éliminer l’erreur en régime stationnaire, solution deux : ajouter une intégration à la commande proportionnelle, en utilisant un contrôle PI (contrôle proportionnel-intégral). Le contrôle intégral consiste à additionner toutes les erreurs passées puis à les multiplier par une constante d’intégration. Que signifie cette formule, et pourquoi permet-elle d’éliminer l’erreur en régime stationnaire ? Commençons par fixer Kp = 0,5 et Ki = 0,3 (ces valeurs sont choisies au hasard ici). Première addition d’eau : l’erreur est de 0,8, la partie proportionnelle Kp × 0,8 = 0,4 m, la partie intégrale Ki × = 0,24 m, donc la quantité d’eau ajoutée u est de 0,4 + 0,24 = 0,64 m, le niveau final étant de 0,2 + 0,64 – 0,1 = 0,74 m. Deuxième addition d’eau : l’erreur est de 0,26, la partie proportionnelle Kp × 0,26 = 0,13 m, la partie intégrale Ki × = 0,318 m, donc la quantité d’eau ajoutée u est de 0,13 + 0,318 = 0,448 m. Niveau final : 0,74 + 0,448 – 0,1 = 1,088 m
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Nous constatons que, bien que le processus ait été sinueux, il est finalement parvenu à se stabiliser à la valeur prévue. Et si l’on augmente Ki ? Ici, on utilise un graphique en ligne de Excel ; vous pouvez ajuster les paramètres pour observer les variations. Conclusion : ① Tant qu’il y a une déviation, l’intégration se poursuit sans cesse jusqu’à ce que l’erreur devienne nulle. À ce moment-là, le terme d’intégration cesse de s’accumuler et devient une constante qui peut compenser l’erreur en régime stationnaire. On peut voir dans le tableau 2 que, une fois le système stabilisé, la valeur de l’élément d’intégration est d’environ 0,1. ②L’introduction d’une intégration permet d’éliminer l’erreur en régime stationnaire, mais elle augmente le dépassement, et plus Ki est grand, plus le dépassement est important. Pour éliminer le surajustement, nous introduisons une action différentielle. La formule devient maintenant : supposons toujours Kp=0,5, Ki=0,5, Kd=0,3. Première addition d’eau : l’erreur est de 0,8 m ; la partie proportionnelle Kp×0,8=0,4 m, la partie intégrale Ki×=0,24 m, et la partie différentielle = 0 (car avant l’ajout d’eau, la différence de niveau était déjà de 0,8 m ; la quantité d’eau ajoutée U est de 0,4+0,4=0,8 m, donc le niveau final est de 0,2+0,8-0,1=0,9 m). Deuxième addition d’eau : l’erreur est de 0,1 m ; la partie proportionnelle Kp×0,1=0,5 m, la partie intégrale Kp×=0,45 m, et la partie différentielle est Kd×=-0,21 m ; la quantité d’eau ajoutée u est de 0,5+0,45-0,21=0,29 m, donc le niveau final est de 0,9+0,29-0,1=1,09 m. http://yunrun.com.cn/upload/201908/20/201908201501401752.png On constate que, par rapport au graphique précédent avec Kp=0,5 et Ki=0,5, les oscillations sont réduites ici, ce qui montre bien l’effet de la partie différentielle. Comme on peut le voir dans le tableau 3, lorsque l’erreur est de 0,1 pour la deuxième fois, alors qu’elle était de 0,8 la fois précédente, la valeur différentielle est négative, ce qui empêche un changement rapide du résultat. Conclusion : La dérivation peut atténuer la tendance à l’overshoot. Cependant, cette forme d’onde continue de fluctuer. Oui, n’oubliez pas que cette valeur a été fixée au hasard ; nous ne pouvons pas espérer que la simple fixation d’une valeur quelconque fasse fonctionner le PID parfaitement. Si vous simulez cela vous-même avec Excel, vous constaterez que si Ki et Kd sont réglés à des valeurs plus élevées, le système commencera à fluctuer fortement. Par conséquent, nous devons régler Kp, Ki et Kd, c’est-à-dire essayer de faire en sorte que la sortie réponde aux exigences de la figure 1. Bien sûr, dans cet exemple, on peut en fait utiliser PI, mais nous le faisons ici pour comprendre le principe de son fonctionnement. Être capable de régler habilement les paramètres PID et de mettre en marche automatiquement un système de contrôle automatique reflète le niveau de compétences en automatisation des ingénieurs, mais beaucoup ne maîtrisent pas vraiment le contrôle PID ni la régulation de ses paramètres. Sur la page des produits « Régulateurs PID » du site Changhui Instruments, on peut partager gratuitement le livre intitulé « Analyse des systèmes de régulation automatique et réglage des PID », écrit par l’ingénieur Bai Zhigang. Ce livre ne contient pas de formules théoriques complexes ; il est entièrement consacré à des conseils pratiques. En comprenant bien son contenu, même une personne ayant un diplôme de niveau secondaire spécialisée dans les instruments de mesure peut ajuster les paramètres PID et maîtriser pleinement le contrôle PID ! Cela vous est utile et c’est gratuit : allez vite sur la page des produits du site Changhui Instruments et téléchargez ce livre gratuitement sous la catégorie « Régulateur PID » ! http://yunrun.com.cn/upload/201908/19/201908192101476884.png